Galton board

La macchina di Galton è costituita da un piano verticale su cui sono posti dei pioli disposti in una configurazione che ricorda il numero cinque su di un dado (quinconce). Delle palline vengono lasciate cadere su questa struttura e vanno a finire in una serie di cilindri che si trovano in basso.

Una pallina, quando incontra un piolo, può andare alla sua destra o alla sua sinistra, per cui alla fine nei cilindri si accumuleranno delle pile di palline.

Sulla struttura è disegnato un triangolo di Tartaglia, che indica quanti possibili percorsi passano per ciascun punto della macchina (corrispondente a un piolo), e quindi in definitiva quanti percorsi conducono ai contenitori cilindrici inferiori.

Si comprende subito, osservando il triangolo, che il numero di percorsi che conducono ai contenitori cilindrici centrali è decisamente più elevato rispetto a quello dei percorsi che conducono ai contenitori cilindrici laterali.

Ogni volta che una pallina incontra un piolo, potrà cadere da un lato o dall’altro in maniera non prevedibile e non correlata al movimento precedente (variabili aleatorie indipendenti). Se le righe dei pioli sono n, qualora una pallina incontrando i vari pioli cadesse verso destra per k volte e verso sinistra per le restanti n-k volte, andrebbe a finire nel contenitore cilindrico k, avendo noi numerato i contenitori a partire da 0 e da sinistra.

Si può quindi affermare che il numero di percorsi che portano una pallina nel k-mo contenitore è dato da

 

La probabilità che una pallina finisca nel k-mo contenitore, quindi, sarà data da

distribuzione binomiale

 

qualora la probabilità di andare verso destra sia p (in genere le due direzioni sono equiprobabili e quindi p=0,5).

Questa è la distribuzione di probabilità binomiale, per cui i vari eventi associati alla direzione presa dalla pallina ogni volta che incontra un piolo possono essere visti come un processo di Bernoulli.

Al termine dell’esperimento, il profilo delle palline assumerà un andamento molto simile a quello di una distribuzione normale.

Di fatto, quindi, la macchina di Galton è una dimostrazione “fisica” del teorema del limite centrale.